波動性拖累 Volatility Drag

數學原理

算術平均值只是將一系列報酬相加後除以次數——它把 +50% 和 −50% 視為互相抵銷。但複利運作方式並非如此:一個投資組合若某年獲利 50%,隔年虧損 50%,結果並非持平,而是虧損了 25%,因為虧損是建立在比獲利基期更大的本金之上計算的。標準近似公式為幾何平均值 ≈ 算術平均值 − σ²/2,其中 σ 為報酬序列的波動性。變異數越高,投資人可能引用的平均報酬與其帳戶實際顯示的複合報酬之間的差距就越大——這種拖累並非手續費或成本,而是透過變動報酬進行複利計算所帶來的直接數學結果。

虧損的不對稱性

由於在複利計算下,虧損與獲利並不對稱,回檔越深,回本所需的數學條件就越苛刻。10% 的虧損需要 11% 的漲幅才能回本。50% 的虧損需要 100% 的漲幅。90% 的虧損需要 900% 的漲幅。這正是為何回檔(drawdown)幅度——而非僅僅是平均報酬——才是決定一項策略是否能真正隨時間複利累積財富的關鍵數字:兩個平均報酬相同但波動性不同的序列,最終結果會有明顯差異,而波動性較高的那個永遠是輸家。

為何這對部位規模至關重要

波動性拖累正是「部位規模並非取決於信念強弱」這一原則的數學根源。將部位放得過大,會使報酬對風險的比例超過其最佳點——同樣的優勢,若下注規模過大,複利成長反而會變慢而非變快,因為額外增加的變異數所吞噬的,超過了額外報酬所貢獻的。凱利公式(Kelly criterion)正是針對這一權衡的正式解答:它將賭注規模設定在複合成長率最大化的那一點,而這一點永遠低於單看平均報酬顯得最高的那一點。夏普比率(Sharpe ratio)則是同一概念的日常簡化版本——每單位波動性所對應的報酬,因為波動性正是複利數學實際上會懲罰的對象。